AS FACES DA MATEMÁTICA: (VUNESP 2025)

Ao jogarmos quatro vezes um dado tradicional, ou seja, com 6 faces enumeradas de 1 a 6, não viciado, a probabilidade de obtermos, exatamente, duas vezes a face com o número 5 voltada para cima é:

A) 1/12

B) 25/216

C) 1/6

D) 25/108

E) 1/3

Resolvendo a questão temos:

A situação descrita envolve um dado tradicional de 6 faces, e queremos saber a probabilidade de que, ao lançarmos esse dado 4 vezes, a face com o número 5 apareça exatamente 2 vezes.

Aqui, vamos utilizar o conceito de probabilidade binomial. A probabilidade de obtermos 5 em um único lançamento do dado é $P(5) = \frac{1}{6}$ , e a probabilidade de não obtermos 5 em um lançamento é $P(\text{não 5}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .

Queremos que a face 5 apareça exatamente 2 vezes em 4 lançamentos, então estamos lidando com um problema de distribuição binomial, em que:

O número de tentativas $n = 4$ ,
O número de sucessos desejados $k = 2$ ,
A probabilidade de sucesso (obter um 5) $p = \frac{1}{6}$ ,
E a probabilidade de fracasso (não obter 5) $1 - p = \frac{5}{6}$ .

A fórmula para a probabilidade binomial é:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$

Substituindo os valores:

$P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$

Primeiro, calculemos o coeficiente binomial $\binom{4}{2}$ , que representa o número de maneiras de escolher 2 sucessos em 4 tentativas:

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4 - 2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

Agora, substituindo na fórmula:

$P(X = 2) = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2$

Calculando os valores:

$P(X = 2) = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = 6 \cdot \frac{25}{1296} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$

Portanto, a probabilidade de obtermos exatamente duas vezes a face 5 é $\frac{25}{216}$ .

Páginas

Pesquisar assuntos

(VUNESP 2025) - QUESTÃO

Nenhum comentário:

Postar um comentário