Polinômios - 30 Exercícios com gabarito

01. (UNESP) - Dividindo o polinômio P(x) = 5x³ + 3x² + 2x – 4 pelo polinômio D(x), obtém-se o quociente Q(x) = 5x + 18 e o resto R(x) = 51x – 22. O valor de D(2) é:
a) –11.
b) –3.
c) –1.
d) 3.
e) 11. 

02. (UNICAMP) - Considere o polinômio p(x) = x³ – x² + ax – a, onde a é um número real. Se x = 1 é a única raiz real de p(x), então podemos afirmar que
a) a < 0
b) a < 1
c) a > 0
d) a > 1
e) a < - 1

03. (UNESP) - Sabe-se que, na equação x³ + 4x² + x – 6 = 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é
a) S = {– 3, – 2, – 1}
b) S = {– 3, – 2, + 1}
c) S = {+ 1, + 2, + 3}
d) S = {– 1, + 2, + 3}
e) S = {– 2, + 1, + 3}

04. (FATEC-SP) - Sejam a e b números reais tais que o polinômio P(x) = x⁴ + 2ax + b é divisível pelo polinômio (x - 1)². O resto da divisão de P(x) pelo monômio D(x) = x é:
a) − 2.
b) − 1. 
c) 1.
d) 3.
e) 4

05. (UEA) -  O polinômio p(x) = x³ + mx² + nx – 6 é divisível por (x – 1) e (x + 2). Desse modo, é correto afirmar que o valor de m/n é:
a) 3/10
b) 4
c) 1/4
d) 3
e) 3/2

06. (UEA) - Na divisão do polinômio (x³ – 8x² + 19x – 12) por (x – 1) obtém-se como quociente o polinômio Q(x). Considerando Q(x) = 0, e x’ e x’’ as raízes dessa equação, com x’ > x’’, então x’ – x’’ será igual a
a) 2.
b) 3.
c) 1.
d) 5.
e) 7.

07. (UEAL) - Levando em conta que x = 1 é um dos zeros da função f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6, qual o valor da soma dos outros zeros?
a) 6
b) 5
c) 0
d) -5
e) -6

08. (INSPER) - Se 1, α e β são as raízes da função f(x) = x³ + 4x² − 55x + 50, então 1 + α² + β² é igual a
a) 4.
b) 50.
c) 55.
d) 101.
e) 126.

09. (MACKENZIE) - Se a, b e c são as raízes do polinômio p(x) = x³ – 5x² + 2x + 8 , tais que a = –2bc, o valor de (a/b) + (a/c) é:
a) 2
b) 1/2
c) –2
d) 3
e) –1/4

10. (FUVEST-SP) - O polinômio p(x) = x³ + ax² + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1, respectivamente. Assim, o valor de a é
a) – 6
b) – 7
c) – 8
d) – 9
e) – 10

11. (FGV-SP) - O número 1 é raiz de multiplicidade 2 da equação polinomial x⁴ - 2x³ - 3x² + ax + b = 0. O produto a.b é igual a: 

a) – 8
b) – 4
c) – 32
d) – 16
e) – 64

12. (FUNDATEC) - Sendo os polinômios P(x) = x⁴ + 2x³ – x² + 4x + k e Q(x)= x – 2, qual é o valor de k, sabendo que P(x) é divisível por Q(x)?

a) 36.

b) 18.

c) –18.

d) –36.

e) –72.

13. (FUNDATEC) - Considerando os polinômios P(x)= 3x⁵ + 2x³ + x e Q(x)= –3x⁵ + 4x⁴ + 2x³ + x, o polinômio que representa a diferença entre P(x) e Q(x), ou seja, P(x) – Q(x) é igual a:

a) x⁵ – 4x⁴

b) 6x⁵ + 4x⁴

c) 4x⁴ + 4x³ + 2x

d) x⁵ + x⁴ + x

e) 6x⁵ – 4x⁴

14. (FGV-SP) - Sendo P(x) = x3 + x2 – x e Q (x) = x4 + 4, o produto entre P(x) e Q(x) resulta em um polinômio de grau:

a) –1.

b) 1.

c) 4.

d) 7.

e) 12.

15. (VUNESP) - Sobre um polinômio P de 4º grau, sabe-se o seguinte: o coeficiente do termo de maior grau é 1; uma de suas raízes é (1 + i), sendo i a unidade imaginária; a soma de todas as suas raízes é igual a 5; e o produto de todas as suas raízes é igual a 4.

Dividindo-se P por x – 1, tem-se, como resto,

a) 6.

b) 2.

c) 4.

d) 8.

e) 0.

16. (CESPE) - Se –2 é raiz do polinômio p(x) = 2x3 – a3x – 38, então o valor de a é igual a

a) –36.

b) –19.

c) 2.

d) 38.

e) 3.

17. (SSPM) - Suponha que o conjunto solução da equação 5x³  –  4x² + 7x  – 2 =0 é (x1, x2, x3). Se a equação polinomial P(x) = 0 apresenta (5x1, 5x2, 5x3) como conjunto solução, assinale a opção que apresenta a soma dos coeficientes de P(x).

a)  – 18/25

b)  – 19/15

c)  – 21/20

d)  – 17/35

e)  – 17/20

18. (IME) - Seja a equação do terceiro grau em x:

$x^3+p_1{x}^2+p_{2}x+p_3=0$

onde p1 < p2 < p3 são números primos menores que 100. Para que a razão entre a soma e o produto das raízes da equação seja a maior possível, o valor de p2 + p3 deve ser:

a) 144

b) 152

c) 162

d) 172

e) 196

19. (FEPESE) - O polinômio p(x) = ax³ + bx² + 4x + c é divisível pelos polinômios q(x)= x² – 4 e r(x) = x² – x – 2. Logo, o valor de a – b – c é:

a) –4.

b) –2.

c) 0.

d) 2.

e) 4.

20. (CIAGA) - Seja o polinômio p(x) = x5 + 5x4+ 8x3+ 8x2 + 7x + 3 com raiz dupla em x = –1. Pode-se afirmar que as demais raízes são compostas por

a) uma raiz real dupla e uma complexa.

b) três raízes reais distintas.

c) uma raiz tripla.

d) duas raízes complexas e uma real.

e) duas raízes reais e uma complexa.

21. (FADENOR) - A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + y)m é 729. Nesse caso,

a) m = 3.

b) m = 4.

c) m = 5.

d) m = 6.

e) m = 10.

22. (CIAGA) - O polinômio P(x) = x4 – 7x3 + 13 x2 + 3x – 18 pode ser fatorado como dois polinômios de segundo grau, R(x) e S(x). Sabe-se que R(x) possui 3 como raiz dupla e que S(x) possui duas raízes distintas. Desse modo, as raízes de S(x) são:

a) – 1 e 2.

b) – 1 e 3.

c) 1 e 2.

d) 1 e – 2.

e) 1 e – 3.

23. (ESPCEX) - Dado o polinômio p(x) = (m + 39)x + x3 – 36 – 14x2 e sabendo-se que 1 é uma raiz de p(x), é correto afirmar que as outras duas raízes de p(x) são números

A) inteiros primos.

B) irracionais.

C) inteiros quadrados perfeitos.

D) inteiros cubos perfeitos.

E) inteiros múltiplos de 5.

24. (IFSC) - Considere o polinômio com o menor grau possível tal que p(–1) = –7, p(0) = 1, p(1) = 5, p(2) = 11 e p(3) = 25. Qual o valor de p(4)?

a) 55.

b) 47.

c) 49.

d) 51.

e) 53.

25. (UFPR) - Relacionar dois conteúdos, supostamente distintos, também é uma forma de contribuir com a aprendizagem dos alunos, pois ancora novos conhecimentos a outros já consolidados. Essa questão baseia-se na ideia de que uma noção algébrica, como a de polinômios, está relacionada a uma noção geométrica, como o de área. Sabendo, portanto, que a área de um retângulo é representada pelo polinômio x³ – 3x + 2 e que sua largura é representada pelo polinômio x + 2, o comprimento do retângulo, em sua forma fatorada, é:

a) (x – 1)²

b) (x + 1)².

c) –(x – 1)²

d) x² – 2x + 1.

e) –x² + 2x – 1.)².

26. (CESGRANRIO) - A equação 2x5 – 6x4 + x3 – 3x2 – x + 3 = 0 possui uma raiz inteira. O número total de raízes reais dessa equação será

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

27. (CESGRANRIO) - Considere as funções polinomiais f(x) = x² + 6x – 16 e g(x) = 3x – 9. Se g(m) = f(– 1), então m é igual a

a) – 4

b) – 3

c) – 2

d) – 1

e) 0

28. (CESGRANRIO) - A soma das raízes da equação x8 – 1 = 0 é igual a

a) 2i

b) i

c) 0

d) 2

e) 4

29. (CETREDE) - O polinômio 4x³ + 16x² + kx – z é divisível pelo polinômio 2x + 9. Então k e z podem assumir os seguintes valores:

a) k = – 7 e z = –9.

b) k = – 7 e z = 9.

c) k = 9 e z = – 7.

d) k = 7 e z = 9.

e) k = – 9 e z = – 7.

30. (VUNESP) - Considere o polinômio P (x) = x4 – 2x3 – 3x2 + 8x – 4.

Sabendo-se que ele é divisível por x – 1 mais de uma vez, a soma entre a maior e a menor raízes da equação P (x) = 0 é igual a

a) 4.

b) 3.

c) 2.

d) 1.

e) 0.

 ➤ Exercícios resolvidos sobre polinômios