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(VUNESP - 2019) - QUESTÃO

Em uma eleição, sabe-se que 40% dos eleitores são favoráveis ao candidato X e o restante ao candidato Y. Extraindo uma amostra aleatória, com reposição, de tamanho 3 da população de eleitores, obtém-se que a probabilidade de que no máximo 1 eleitor da amostra seja favorável ao candidato X é igual a
A) 36,0%
B) 43,2%
C) 64,8%
D) 78,4%
E) 35,2%

RESOLUÇÃO: C

Resolvendo a questão temos:

Dados:

  • p=0,4p = 0,4 → probabilidade de um eleitor ser favorável ao candidato X

  • q=1−p=0,6q = 1 - p = 0,6 → probabilidade de ser favorável ao candidato Y

  • Tamanho da amostra: n=3n = 3

  • Queremos P(X≤1)P(X \le 1), onde XX é o número de eleitores favoráveis a X.

- Distribuição Binomial

X∼Binomial(n=3,p=0,4)X \sim \text{Binomial}(n=3, p=0,4)

A probabilidade de exatamente kk eleitores serem favoráveis a X é:

P(X=k)=(3k)(0,4)k(0,6)3−kP(X=k) = \binom{3}{k} (0,4)^k (0,6)^{3-k}

- Calcular P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)

P(X=0)=(30)(0,4)0(0,6)3=1×1×0,216=0,216P(X=0) = \binom{3}{0}(0,4)^0(0,6)^3 = 1 \times 1 \times 0,216 = 0,216
P(X=1)=(31)(0,4)1(0,6)2=3×0,4×0,36=3×0,144=0,432P(X=1) = \binom{3}{1}(0,4)^1(0,6)^2 = 3 \times 0,4 \times 0,36 = 3 \times 0,144 = 0,432
P(X≤1)=0,216+0,432=0,648P(X \le 1) = 0,216 + 0,432 = 0,648

- Converter para porcentagem

0,648=64,8%
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