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(FGV - 2024) - QUESTÃO

Numa população, 50% das pessoas sofrem de um certo mal.
Se um grupo de 5 pessoas for aleatoriamente sorteado, com reposição, dessa população, a probabilidade de que duas dessas pessoas sofram desse mal é aproximadamente igual a
A) 0,26
B) 0,31
C) 0,36
D) 0,41
E) 0,46

RESOLUÇÃO: B

Resolvendo a questão temos:

Dados do problema

  • Proporção de pessoas com o mal: p=0,5p = 0{,}5

  • Número de pessoas sorteadas: n=5n = 5

  • Queremos: probabilidade de exatamente 2 pessoas sofrerem do mal.

Modelo probabilístico

Como o sorteio é com reposição, cada pessoa tem chance independente p=0,5p = 0{,}5.
Logo, usamos a distribuição binomial:

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}

Cálculo

P(X=2)=(52)(0,5)2(0,5)3P(X = 2) = \binom{5}{2} (0{,}5)^2 (0{,}5)^{3}
P(X=2)=10×(0,5)5=10×132=1032=0,3125P(X = 2) = 10 \times (0{,}5)^5 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0{,}3125

Resposta aproximada

P(X=2)≈0,31

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